Мы определили (сильный) дифференциал отображения Fкак результат применения к элементу h Х линейного оператора F'(x),т. е.

dF= F'(x)h

Дифференциал второго порядка определяется как

d² F= F" (х)(h, h),

т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению

F''(х) В(X² , У)

Аналогично дифференциалом п-го порядка называется

dⁿ F=F^{( n )} (x)(h,h,h),

т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h) переводится отображением ^{F ( n )} (x).

Формула Тейлора

Сильная дифференцируемость отображения Fозначает, что разность

F(x+h)—F(x)

может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F— отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области ОX и такое, что F^{( n )} (x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство

f(x + h)-F(x) = F'(x)h + F"(x)(h, h)+ ...

... +F^{( n )} (x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)

где

Доказательство будем вести по индукции. При n= 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное nи предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой nна n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых nзаменено на п-1. Тогда для отображения F'имеем

F'(x+ h) = F'(x) + F"(x)h+F"'(x)(h,h) + ...

… + F^{( n )} (x)(h,…,h) + щ₁ (х, h), (22)

где

||щ₁ (х, h)|| = o(||h||^{n -1} )

Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим

, (21)

Где

.

из (23) получаем

А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р + АЭ(ч)(рбр)+ ююю