Курсовая работа: Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку

4) — гіпербола,

5) — дві пересічні прямі,

6) — парабола,

7) — дві паралельні прямі,

8) — дві мнимі паралельні прямі,

9) — дві співпадаючі прямі.

У цих рівняннях a, b, p — позитивні параметри.

Систему координат XO (Y назвемо канонічною системою координат, а систему координат xOy - загальною системою координат.

Класифікація кривих другого порядку

Залежно від значення інваріанта прийнята наступна класифікація кривих другого порядку:

· якщо крива другого порядку Г називається кривій еліптичного типу.

· якщо крива другого порядку Г називається кривій параболічного типу.

· якщо крива другого порядку Г називається кривій гіперболічного типу.

Крива другого порядку Г називається центральної, якщо . Криві еліптичного й гіперболічного типу є центральними кривими.

Центром кривої другого порядку Г називається така крапка площини, стосовно якої крапки цієї кривої розташовані симетрично парами. Крапка є центром кривої другого порядку, обумовленої рівнянням (1.1), у тім і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням:

(2.1)

(2.1)

Визначник цієї системи дорівнює . Якщо , то система має єдине рішення. У цьому випадку координати центра можуть бути визначені по формулах:

, . (2.2)

З теорем 1 і 2 виходить наступна класифікація кривих другого порядку за допомогою інваріантів:

1) еліпс

2) мнимий еліпс

3) дві мнимі пересічні прямі (крапка)

4) гіпербола

5) дві пересічні прямі (2.3)

6) парабола

7) дві паралельні прямі

8) дві мнимі паралельні прямі

9) дві співпадаючі прямі

Практична частина