Курсовая работа: Дослідження методу ортогоналізації й методу сполучених градієнтів

. (8)

Вектор спрямований по нормалі до поверхні в крапці , а вектор паралельний дотичної площини в цій крапці. Тому

. (9)

Гіперплощина (7) проходить через крапку , тому що

.

При кожному вектор паралельний деякої нормальної площини до поверхні в крапці . Знайдемо серед них той, котрий лежить у гіперплощині (7), тобто ортогональний к. З умови ортогональності маємо:

,

або

. (10)

Вектор

(11)

має напрямок нормалі до перетину поверхні гіперплощини (7) у крапці . Будемо рухатися із крапки в напрямку вектора доти, поки функція досягне мінімуму. Це буде при

. (12)

Вектор

приймемо за нове наближення до рішення системи. Вектор не в'язань

(13)

має напрямок нормалі до поверхні в крапці . Покажемо, що він буде ортогональний до і . Справді, використовуючи (9), (11), (12), (13), маємо:

Розглянемо гіперплощину (n-2) – х вимірів

, (14)

минаючу через крапку . Ця гіперплощина містить і , тому що ми раніше бачили, що , а

.

Вектор при кожному паралельний гіперплощини (7), тому що

.

Підберемо так, щоб він був паралельний і гіперплощини (14), тобто зажадаємо ортогональності до вектора . Будемо мати:

,

або

(15)