Курсовая работа: Функции Бесселя

Легко видеть, что данный ряд сходится при любых и , причем в области , ( – произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных.

Действительно, начиная с достаточного большого , отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное величине

не будет превосходить некоторой правильной положительной дроби , не зависящей от и . Отсюда, согласно известному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной области [4].

Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного , регулярную в рассматриваемой разрезанной плоскости. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом и обозначается символом . Таким образом,

(2.1)

Нетрудно показать, что определенная таким образом функция есть частное решение уравнения

(2.2)

Действительно, обозначая левую часть этого уравнения и полагая , мы находим, так же как в пункте 1,

где – коэффициенты ряда (2.1),

откуда следует, что

Так как при фиксированном , принадлежащем плоскости с разрезом члены ряда (2.1) представляют собой целые функции переменного , то из равномерной сходимости по отношению к этому переменному вытекает, что функция Бесселя первого рода, рассматриваемая как функция своего значка, есть целая функция . При целом и ряд (2.1) переходит в ряд (1.2), поэтому функции, определенные в настоящем параграфе, являются обобщением функций Бесселя с целым положительным значком, изученных в пункте 2. При равном целому отрицательному числу , первые членов ряда (2.1) обращаются в нуль, и рассматриваемая формула может быть записана в виде

откуда следует

(2.3)

Таким образом, функции Бесселя с отрицательным целым значком отличаются от соответствующих функций с положительным значком только постоянным множителем.

Полученное соотношение вместе с формулами (1.10 – 1.11) показывает, что разложение (1.12) может быть записано в виде

(2.4)

Многие равенства, установленные ранее для функций Бесселя с целым положительным значком, переносятся на функции с произвольным индексом без каких-либо изменений. Так, например, имеют место соотношения:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

представляющие собой обобщение соответствующих формул пункта 2. Доказательство формул (2.5 – 2.6) повторяет рассуждения этого параграфа и поэтому не приводится. Формулы (2.7) получаются путем повторного применения равенств (2.6).

3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

По определению цилиндрическая функция есть произвольное решение дифференциального уравнения второго порядка

(3.1)

поэтому общее ее выражение содержится в форме

(3.2)