Курсовая работа: Функции Бесселя

При и поэтому первые членов ряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись известными формулами теории гамма-функции

;

получим для таких

поэтому

где введен новый значок суммирования

Из формулы (3.7) следует, что искомое разложение функции Бесселя второго рода с целым положительным значком имеет вид

(4.1)

где в случае первую сумму надлежит положить равной нулю.

Значения логарифмической производной гамма-функции могут быть вычислены по формулам:

(4.2)

где – постоянная Эйлера,

Принимая во внимание равенство (1.2), мы можем представить разложение (4.1) в несколько другом виде, именно:

(4.3)

Из (4.1) вытекает, что при справедливы асимптотические формулы

(4.4)

показывающие, что когда

5 Функции Бесселя третьего рода

К цилиндрическим функциям относятся также функции Бесселя третьего рода или функции Ханкеля и , которые для произвольного и , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль полуоси , определяются при помощи формул

(5.1)

где – функции Бесселя первого и второго рода.

Целесообразность введения этих функций обусловлена тем, что рассматриваемые линейные комбинации из и обладают наиболее простыми асимптотическими разложениями при больших (пункт 8) и часто встречаются в приложениях.

Из определения функций Ханкеля следует, что эти функции представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции . Очевидно, что рассматриваемые функции линейно независимы между собой и по отношению к , так что общий интеграл уравнения Бесселя (3.1) может быть, наряду с (3.8), представлен в одной из следующих форм:

(5.2)