Курсовая работа: Функции Бесселя

Общее выражение для через элементарные функции получается из формул (2.7). Например, если положить во второй из них и воспользоваться результатом (7.1), то находим:

(7.3)

Соответствующие формулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденных соотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функции Бесселя первого рода (3.5 и 5.4). Например, мы имеем:

(7.4)

и т. д.

В заключение укажем на формулы:

(7.5)

вытекающие из определений рассматриваемых функций (6.1 – 6.2).

Формулы для других полуцелых значений индекса получаются из этих формул с помощью рекуррентных соотношений (6.9). Лиувиллем доказано, что случай полуцелого индекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся к элементарным.

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях и фиксированном значении индекса [5]. Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции.

Из цилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеют функции третьего рода.

Чтобы получить асимптотическое представление функции , воспользуемся равенством

(8.1)

и преобразуем его с помощью подстановки . Тогда получим

(8.2)

Заменяя множитель биноминальным разложением с остаточным членом

и интегрируя почленно, находим

(8.3)

где

Предположим, что ( – произвольное малое положительное число) и будем вр?