Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]

t = 0

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

(3)

Если в матрице системы все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

(4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY

Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:

Получилось два действительно корня и два комплексно-сопряженных корня . Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:

Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.

И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:

Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

Метод Эйлера заключается в следующем.

Решение системы (1) находится в виде:

(5)

Функция (5) является решением системы (1), если – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения ₁ , ₂ , … ,_n матрицы А попарно различны и a₁ , a₂ , …, a_n соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :

где С₁ , С₂ , … , С_n – произвольные числа.

Для случая кратных корней решение системы принимает вид