Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения, которые и составляют первую и вторую строки фундаментальной матрицы решений

Аналогично остальные 3:

Запишем найденную фундаментальную матрицу решений:

Умножим транспонированную фундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов и получим вектор общего решения исходной системы:

Сделаем проверку найденного решения следующим образом:

Получаем нулевую матрицу-столбец:

что показывает, что общее решение найдено верно.

5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда

Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.

Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц , ,. Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А:

,

если при . Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ , причем говорят, что этот ряд сходится к сумме , если к f сходится последовательность частичных сумм S_k , где

.

Пусть , тогда можно определить степень матрицы А обычным образом:

(k раз).

Рассмотрим ряд, называемый степенным:

, , ,

где по определению положим A₀ = E_n .

Экспоненциальная функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:

.

Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда

Равен бесконечности, то ряд сходится при всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через е^А , если ехр{А}.

Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда: