Курсовая работа: Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

где - действительный корень кратности n.

2. Если среди корней характеристического полинома имеются, как действительные разные, так и действительные кратные корни, то матрица В имеет вид:

где - действительные разные корни, а - действительный корень кратности 2.

3. При наличии среди корней характеристического полинома корней комплексно-сопряженных Жорданова клетка выглядит следующим образом:

где а комплексно сопряженный корень характеристического полинома.

Так как в нашем случае среди характеристических чисел присутствуют, как комплексно-сопряженные корни л = 2 -  ∨ л = 2 + , так и действительный разные корни л = -1 ∨ л = 1,то жорданова матрица выглядит следующим образом:

Из уравнения A_* S = S_* В, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, из которой находим элементы матрицы S. Полученная матрица S будет выглядеть следующим образом:

Решаем систему 16-го порядка из уравнения A_* S = S_* В

Доопределяем некоторые элементы и получаем следующую матрицу S:

Сделаем проверку A_* S - S_* В=0:

Значит матрица перехода найдена верно.

Для нахождения вектора решений y необходимо умножить матрицу S на , где - это вектор, элементы которого зависят от корней характеристического многочлена:

Для комплексных чисел имеет следующий вид:

Для случая корней действительных разных:

В нашем случае получается равной:

=

Отсюда найдем общее решение у=S*, получим:

При подстановке решения в исходную систему получается верное равенство, из этого следует, что решение найдено верно: