Курсовая работа: Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.

Экспонентой матрицы А называется сумма ряда

где Е – единичная матрица.

Матрица является решением матричной задачи Коши:

т.е. является фундаментальной матрицей системы.

Найдем разложение матричного ряда последовательно по семи, восьми и десяти первым членам.

для получения разложения по 7 первым членам (аналогично по 8,10 и 10). Результатом будет являться матрица 4*4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий S=[1,2,3,4] и получаем приближенное решение в виде матричного ряда.

При увеличении членов разложения ряда вектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений. Этот факт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенного решений (см. приложение).

Умножим на соответствующий вектор начальных условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда, запишем полученное решение для n=7.

[s1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4]

6. Построение общего решения матричным методом

Матричный метод решения системы уравнений (1) основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.

??????????? e^A ??????? ? ?????????? ????? ????

где Е – единичная матрица.

Свойство матричной экспоненты:

а) если АВ=ВА, то е^А+В =е^А *е^В = е^В *е^А ;

б) если А=S^- 1*B*S, то е^А =S^-1 *e^B *S, где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.

в) матрица y(t)=e^At является решением матричной задачи Коши:

т.е. является фундаментальной матрицей системы (1).

Из свойства в) следует, что решение y(t) системы (1) удовлетворяющее условию y(0)=y₀ , определяется выражением y(t)=e^At *y₀ . Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (1) эквивалентна задачи отыскания матрицы e^At по матрице А.

Для вычисления матрицы e^At удобно представить матрицу А в виде:

,

где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, а B _А – жорданова форма матрицы А, т.к. e^At = S^-1 *e^Bt *S.

Жорданова форма матрицы зависит от вида характеристических чисел.