Курсовая работа: Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

Где соответствует методу Бройдена-Флечера-Голвдфарба-Шенно, что является одним из наилучших (с вычислительной точки зрения), который учитывает симметричность матрицы Якоби.

Описанные выше квазиньютоновские методы сходятся лишь при достаточно хорошом начальном приближении х⁽⁰⁾ . Для расширения области их сходимости можно использовать прием, который имеет название одномерного поиска.

Пусть имеем квазиньютоновское направление (или ).Используем длину шага = 1 и проверим неравенство

(3.34)

где - евклидовая норма. Если оно выполняется, то заканчиваем одномерный поиск и считаем

(3.35)

т.е. уменьшаем длину шага (устанавливая, например, ), пока не выполнится (3.34). На этом заканчиваем одномерный поиск и переходим к формуле (3.35).

Как видим, одномерный поиск (в случае успеха) обеспечивает монотонное уменьшение нормы отклонения с ростом к. Если квазиньютоновское направление сильно отличается от ньютоновского, то одномерный поиск может оказаться неудачным, и тогда необходимо возобновить матрицу В_к , (или)., приравняв ее, например, конечно-разносной аппроксимации матрицы Якоби (или ). Критерием окончания итераций для квазиньютоновских методов есть неровность

3. Другие итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

3.1 Метод Пикара

Существуют также итерационные методы решения систем нелинейных уравнений, которые учитывают вид конкретной системы.

Так, если в уравнениях системы можно выделить линейную l (X) и нелинейную g (X)части функций f_i (X) = l_i (X) + g_i (x), то удобней применить к ней метод Пикара.

В таком случае систему уравнений можно записать в виде

l_i (X) = - g_i (X), i= 1,2,3...n ;

или в векторной форме A X= - G(X);

где A - матрица коэффициентов линейных частей уравнений;

G(X) - вектор-функция нелинейных частей уравнений.

Выберем некоторый начальный вектор X⁽⁰⁾ и построим итерационный процесс в виде

A X^(k+1) =-G(X^(k) ).

Для выполнения одной итерации таким методом необходимо решать систему линейных уравнений, у которой вектором свободных членов будут нелинейные части функций f_i (X). Причем поскольку матрица A остается неизменной при всех итерациях, то для решения СЛАУ можно использовать специальные алгоритмы, предусматривающие возможность преобразования только столбца свободных членов.

3.2 Метод релаксаций

Перепишем систему в виде

X=X+ F(X),

где  - некоторая константа, и построим итерационный процесс по схеме

X^(k+1) = X^(k) +  F(X^(k) ).

Параметр  должен быть таким, чтобы в окрестности решения выполнялось достаточное условие сходимости

||Е+  W|| < 1,

где E- единичная матрица.

На практике выполнение этого условия достаточно сложно проверить, поэтому значение параметра  выбирают пробным путем, проверяя выполнение необходимого условия сходимости после выполнения каждой итерации