Курсовая работа: Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

т.е. матрица F^-1 _x (x⁰ )F_x (x¹ ) невырождена, и

и

F_x (x⁰ )(x¹ -x⁰ )+f (x⁰ )=0

Покажем, что при всех k имеют место неравенства:

(А)

Пусть имеет место m =k -1

Повторим неравенства

Неравенство (А) показывает, что в круге R последовательность x^k является фундаментальной, т.е. имеется предел.

Оценим сходимость

т.е.,

устремляя правая часть не меняется,, т.е. при очень хорошая сходимость.

2.3.1 Модификации метода ньютона

1. Вычисления в методе Ньютона гораздо сложнее, чем при простых итерациях, т.к. на каждой итерации требуется находить матрицу производных и решать систему линейных уравнений. Поэтому рекомендуется такой приём: матрица Якоби вычисляется только на начальном приближении. Однако сходимость при этом видоизменении становится линейной, причём обычно не с малой константой, ибо матрица производных на начальной итерации может заметно отличаться от окончательной. Поэтому скорость сходимости заметно уменьшается и требуемое сисло итераций возрастает.

2. В ещё одной модификации итерационную формулу метода Ньютона вводится параметр следующим образом

На каждой итерации находится так, чтобы уменьшить невязку уравнения (3.1), т.е. выполнить неравенство

(3.5)

Проведём обоснование такой процедуры в евклидовой норме.

Ведём в рассмотрение функцию-невязку для уравнения (3.1)