Далее, будем использовать обобщенную теорему о среднем (обобщение на случай вектор- функции формулы конечных приращений Лагранжа)

Здесь матричная норма согласована с векторной, , – точка отрезка, соединяющего х, у.

Поскольку S – выпуклое множество, то . Предположим, что имеет место оценка

, причём . (2.4)

Тогда согласно предыдущему выполняется условие 2) теоремы

.

Таким образом, в случае дифференцируемости условие (2.4) на матрицу Якоби гарантирует условие сжатия для вектор- функции

2.2 Преобразование Эйткена

Поскольку сходимость метода простых итераций линейная, то она довольно медленна. Поэтому полезно уточнять результат процессом Эйткена по трём последним итерациям, чтобы увеличить точность найденного решения и ускорить процесс его нахождения.

Идею преобразования Эйткена поясним на простом примере.

Погрешность найденных значений на каждой итерации равна,. если

найдем предел x через три значения последних приближений x^k .

.

т. е.

Построим теперь процесс: , тогда

э

то итерационный процесс для уравнения:

(А)

Рассмотрим порядок сходимости этого процесса

Теперь из (А).

Мы рассматривали процесс простых итераций – процесс первого порядка,

а получили процесс 2 –го порядка.

Легко показать, что если процесс имеет порядок, то схема Эйткена имеет порядок (2r -1). Более того, если процесс. не сходится, то итерационный процесс при выборе начального приближения так, чтобы,. будет сходиться.

2.3 Метод Ньютона