Курсовая работа: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций

, , , (2)

где ; ; . Их решения обозначим соответственно через и . Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём , . Однако основные свойства функций , установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).

1. , ().

Действительно, так как и - решения уравнения , то , , откуда , . Это значит, что каждая из функций , также являются решением уравнения . При этом решения и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: , . Следовательно, по теореме существования и единственности на , т.е. для .

Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения

().

2. Функция нечётная, а чётная.

Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с ) симметричны относительно точки . Покажем теперь, что и при любом .

Вводя в рассмотрение функции и (тогда , ) и учитывая свойство 1, будем иметь:

,

, ;

,

.

Таким образом, функции и являются решением одной и той же задачи Коши , , . Поэтому (согласно теореме 1) на , т.е. для любого .

Подобным же образом убеждаемся, что функция является решением задачи Коши , , , следовательно, на .

3. Имеет место тождество .

Доказательство. Полагая и используя свойство 1, находим

(),

Вследствие чего на . А так как , то на , т.е. на .

Замечание. Из свойства 3 следует, что функции и ограничены , причём , для любого .

4. Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций и ):

() (3) Доказательство. Введём в рассмотрение функции

Считая (без ограничения общности) постоянной, а переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как , :

так что

(на ),

Аналогично