Курсовая работа: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций

,

т.е. - период функций ,.

Докажем теперь, что ни одна из функций , не имеет положительного периода, меньше . Действительно, наличие такого периода у функции противоречит свойству 7, а если бы таким периодом обладала функция , то мы имели бы , т.е. , откуда . Поэтому , т.е. , что невозможно.

14. Нулями функции являются числа вида и только эти числа.

Действительно, согласно тождеству , нулями функции все те и только те числа , для которых . Последнее же уравнение на отрезке (длина которого равна периоду функции ) имеет два решения: и (на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений

,

уравнения можно объединить в одну:

.

15. Справедливы следующие тождества (формулы приведения ):

Доказательство. Убедимся, например, что .

Учитывая свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем

.

Аналогично убеждаемся в справедливости остальных тождеств.

16. Наименьший положительный нуль функции равен .

Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости круг . Его площадь, как известно, равна . С другой стороны, эта площадь равна , где -площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как

,

то

Вводя подстановку и учитывая, что при возрастании от до функция (т.е. ) возрастает от до , получаем

Итак, .

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций

Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из степенными рядами, называются аналитическими в этом интервале.

Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам.

Рассмотрим степенные ряды

(1)

(2)

Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при любом действительном , в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом