Курсовая работа: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций
т.е. . Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции
неверно, и тем самым требуемое свойство доказано.
Обозначим наименьший положительный нуль функции через
. Выясним свойства функций
и
, прямо или косвенно связанные с числом
(
).
6. Функция положительна на интервале
и отрицательна на интервале
.
7. Функция убывает на
и возрастает на
.
8. Числа вида и только эти числа являются нулями функции
.
Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2, (
). Если же
(
), то
. Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число
(
), такое что
. Без ограничения общности (учитывая нечётность функции
) можем считать, что
. Пусть
. Положим
. Очевидно, что
. Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим
т.е. функция имеет нуль в интервале
вопреки определению числа
.
9. ,
;
,
.
10. Функция положительна на
и отрицательна на
.
Доказательство.
1) Докажем, что на
.
,
(по свойству 9). Найдём
:
, т.к.
, то
, следовательно
, т.е
. Учитывая свойство 7 получим, что
- наименьший положительный нуль функции
.
Учитывая, что и свойство 7, получаем, что
- наибольший отрицательный нуль функции
.
Таким образом, но интервале функция
не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция
будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция
положительна в некоторой правосторонней окрестности точки
(в силу того, что
(по свойству 9)
). Следовательно,
на всём интервале
, следовательно, и на
.
2) Докажем, что на
.
(по свойству 9). Найдём
:
, т.к.
, то
, следовательно
, т.е
. Учитывая свойство 7 получим, что
- наибольший отрицательный нуль функции
.
Таким образом, но интервале функция
не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция
будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция
отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки
(в силу того, что
,
). Следовательно,
на всём интервале
.
11. .
Действительно, из равенства имеем
, откуда, учитывая, что
, получим
.
12. Функция возрастает на
и убывает на
.
Доказательство. Прежде всего, функция непрерывна на каждом из отрезков
и
и дифференцируема на
.
Так как , то учитывая свойство 10,
на
и
на
.Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.
Замечание . Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на и возрастает на
.
13. Функции ,
- периодические с периодом
.
Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что ,
, имеем при любом
: