Курсовая работа: Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций

Следовательно, согласно теореме 1, и на . Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения.

Замечание. Пологая в формулах (3) , получаем следующие формулы удвоения :

, ().

Отсюда с учётом свойства 3 получаем:

, ().

Изучим теперь вопрос о нулях функций , , т.е. о корнях уравнений , . Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий , будем называть её положительным нулём .

Так как , то число является одним из нулей функции .

Лемма1 . Хотя бы одна из функций , обладает по крайней мере одним положительным нулём.

Доказательство . Предположим (от противного), что уравнения , положительных решений не имеют. Тогда на функции и знакопостоянны. Действительно, если бы функция или в некоторых точках принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между и , в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.

Учитывая, далее, что , заключаем, вследствие непрерывности , что положительна в некоторой окрестности точки , и, следовательно, на .

Функция возрастает на , так как на , а поскольку , то на . С учётом свойства 3 и положительности функций , на имеем

т.е. для любого . Очевидно, сто последнее неравенство верно и при . Интегрируя почленно это неравенство по промежутку , где - любое положительное число, большее двух, получаем

т.е. вопреки выбору числа . Полученное противоречие и доказывает лемму.

Лемма2 . Функция имеет хотя бы один положительный нуль.

Доказательство. Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция обладает хотя бы одним положительным нулём , а тогда (по формуле удвоения для функции ) будем иметь

,

т.е. - положительный нуль функции , но это противоречит допущению.

Замечание . Если , то и для любого .

Доказательство. Для , -это известно.

Пусть для утверждение верно, т.е. . Докажем справедливость утверждения для .

Используя свойство 4, вычислим :

т.к. и .

5. Существует наименьший положительный нуль функции .

Доказательство. Обозначим через множество положительных нулей функции . Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть . Очевидно, что . Предположим теперь, что функция не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества получаем, что - предельная точка множества . Теперь легко убедиться, что является одним из нулей функции . Действительно,

(здесь мы воспользовались непрерывностью функции и теоремой о пределе функции (в нашем случае ) в точке по данному множеству , для которого является предельной точкой). Отсюда следует, что (поскольку в случае число было бы наименьшим положительным нулём функции вопреки сделанному выше предположению).