Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2) --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению

2.1. Значит

3) Пусть .

Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что

Тогда получим

т.е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где --- мальцевский оператор.

Тогда

то есть .

Так как

то .

Таким образом . Лемма доказана.