Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , и --- изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что --- изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 Если и --- факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Определение 2.3 Факторы и назыавются перспективными , если либо либо

Теорема Пусть , , , --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то

3) если , и факторы , перспективны, то

4) если - конгруэнции на и , то

где , .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что