Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение.

Пусть

Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .

Так как то

то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение на следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.