Курсовая работа: Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

4. Виключити з розкладення нелінійні множники. Це виключення виконується таким чином.

Якщо в розкладенні є множник, , де , то його виключення залежить від знака старшого коефіцієнта і виконується за правилом:

Якщо в розкладенні є множник , то його виключення здійснюється за правилами

Нелінійний множник виключається за правилом:

.

5. На числовій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоять в чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результаті виконання пунктів «1» - «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, які відповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, а точки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга, всі точки відмічаються світлими кружками.

6. Поставити знаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченими точками.

Спочатку поставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+» ставиться, якщо число множників виду парне, і знак «-», якщо це число непарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що вони чергуються в сусідніх проміжках.

7. Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана в пункті 4 має вигляд: , або «-», якщо ця нерівність має вигляд . Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осі зафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,. Об’єднання цих проміжків і є множиною розв’язків даної нерівності.[4:124]

Приклад 1. Розв’язати методом інтервалів нерівність

. (1)

Розв’язування:З нерівності знаходимо ОДЗ:

Далі замість нерівності (1) розв’язуємо рівняння

або звідки

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

1. Підставляємо значення з інтервалу у нерівність (1). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу .

2. Підставляючи в нерівність (1) значення з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі .

3. Підставляючи в (3) значення з інтервалу дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу .

Остаточно маємо розв’язок нерівності (1)

Відповідь.[1:161]

Приклад 2. Розв’язати нерівність

Розв’язування: Для знаходження коренів рівняння необхідно розкласти його на множники. Отже