Курсовая работа: Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів
Отже числа,
,
є коренями даного рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції
на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку
з інтервалу
, дістаємо
. Провівши «криву знаків», визначаємо знак
в кожному з інтервалів.
+
+
1 2 3 x
Відповідь:
2.2 Розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів
Нехай потрібно розв'язати нерівність
,
де цілі додатні числа;
— дійсні числа, серед яких немає рівних і такі, що
. Нерівності подібного типу розв'язують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього метода лежить така властивість двочлена
точка
ділить числову вісь на дві частини, причому якщо
(
- парне), то вираз
праворуч і ліворуч від точки
зберігає додатний знак; якщо
(
- непарне число), то вираз
праворуч від точки
додатний, а ліворуч від точки
від'ємний.
Для розв'язання нерівності
узагальненим методом інтервалів на числову вісь наносимо числа ; в проміжку праворуч від найбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, при переході через чергове число
змінюємо знак, якщо
— непарне число, і зберігаємо знак, якщо.
— парне число.
Зауваження 1. Якщо зустрічаються вирази , то праворуч від найбільшого з
не обов'язково буде знак « + ». У цьому випадку найкраще визначити знак лівої частини нерівності в якомусь з інтервалів, а потім поставити знаки в кожному з інтервалів з урахуванням викладених вище міркувань.
Зауваження 2.Наведені вище міркування справедливі і для нерівностей виду
,
,
, де
.
Приклад 1. Розв’язати нерівність
Перепишемо нерівність у рівносильному вигляді
Числа ,
,
,
є коренями рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції
на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку з інтервалу
, дістаємо
. Проводимо через задані точки «криву знаків» з урахуванням того, що ліворуч і праворуч точки
буде той самий знак «+», тому що у виразі
показник степеня (число 4) є числом парним.