Курсовая работа: Многомерная геометрия 2

В математике и в ее приложениях часто приходиться рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение и умножение на число. Например, в механике рассматривают также сложение скоростей и умножение скорости на число; рассматривают сложение ускорений и умножение ускорения на число. Силы, скорости и ускорения различны по своей физической природе. Однако линейные операции, которые производятся над ними, единообразны с геометрической точки зрения. Рассмотрим, например, множество всех функций, непрерывных на числовой оси, или множество всех периодических функций с данным периодом, или множество всех алгебраических многочленов. В каждом из этих множеств мы можем естественным образом рассматривать линейные операции. Объекты, о которых мы сейчас говорим, не похожи на силы, скорости и ускорения или на геометрические векторы. Линейные операции над ними также не похожи на линейные операции над векторными величинами механики или над геометрическими векторами.

Линейное пространство не будет содержать каких-либо описаний элементов рассматриваемых множеств или производимых линейных операций, общие для всех частных случаев. Эти требования выражаются аксиомами линейного пространства. Следует заметить, что требования, которые выражены в аксиомах, весьма немногочисленны, и остается возможность добавлять к ним новые предположения. Поэтому в общем понятии линейного пространства возникает некоторая классификация, так что все-таки приходится иметь дело не с единым линейным пространством, а с различными классами линейных пространств, и теория, основанная на аксиомах линейного пространства, разветвляется.

Прежде всего, все линейные пространства разделяются на конечномерные и бесконечномерные. К числу конечномерных пространств принадлежит трехмерное пространство геометрических векторов. Это пространство содержит в себе бесконечно много двумерных и одномерных пространств, называемых подпространствами. Таким образом. Для одномерных, двумерных и трехмерных линейных пространств мы имеем геометрические модели, с которыми естественно связаны наши наглядные представления о векторах. При переходе к многомерным пространствам наглядность частично теряется, но теория этих пространств сохраняет геометрический характер. Вместе с тем линейные пространства называют также векторными пространствами. Геометричность терминологии и основных понятий линейной алгебры помогает ее контактам с геометрией.

Мы имеем в виду здесь аналитическую геометрию, причем многомерную, т.е. многомерный аналог обычной (трехмерной) аналитической геометрии. Более того, линейная алгебра и аналитическая геометрия настолько тесно связаны, что между ними трудно провести четкую грань. И не будем к этому стремиться. Можно сказать, что предметом линейной алгебры является многомерная аналитическая геометрия.

Глава I. Пространства с квадратичной метрикой

1.1. Скалярное произведение

1. Пусть L – действительное линейное пространство. Введем

в пространстве L новую операцию – скалярное умножение векторов.

Действие скалярного умножения ставит в соответствие каждой паре векторов x , y изL действительное число, которое обозначается (x , y ) и называется скалярным произведением вектора x на вектор y .

По аналогии с элементарной аналитической геометрией потребуем соблюдения следующих свойств:

1) Коммутативность: (x ,y ) = (x , y ).

2) Распределительность (дистрибутивность): (x ₁ + x ₂ , y ) = (x ₁ ,y ) +

+ (x _2, y ).

3) Однородность: ( ax , y )=а ( x , y ) для любого действительного числа а .

4) Невыдержанность: если (x , y ) = 0 при фиксированном x и любому y изL , то x = 0.

Здесь всюду x , y , x ₁ , x ₂ – произвольные векторы пространства L .

2. Обратим внимание на то, что в элементарной аналитической геометрии перечисленные выше свойства скалярного произведения доказываются как теоремы, а здесь мы рассматриваем эти свойства как аксиомы, включая их в определение скалярного произведения.

3. Второе и третье свойства вместе означают линейность скалярного произведения по первому аргументу.

Итак скалярное произведение( x , y ) представляют собой билинейную форму, симметричную согласно первому свойству и невырожденную вследствие четвертого свойства. Действительно, четвертое свойство означает, что нулевое подпространство билинейной формы (x , y ) нульмерно, откуда и вытекает ее невырожденность.

4. Очевидно, справедливо и обратное утверждение:

Каждую невырожденную симметричную билинейную форму g ( x , y ), заданную в пространстве L , можно принять в качестве скалярного произведения, положив

( x , y ) = g ( x , y )

Для любых x , y L .

Замечание. Разумеется скалярное произведение зависит от выбора формы g ( x , y ) . Если в качестве скалярного произведения выбирать разные формы, то для данной пары векторов x , y пространстваL скалярное произведение будет получать, разные численные значения.

5. Пусть в пространстве L введено скалярное произведение ( x , y ) =

= g ( x , y ).

Предполагая пространство n – мерным, возьмем в нем произвольный базис e ₁ , . . . ,e_n . Если x = e _I , y = e _{k ,} то скалярное произведение запишется в координатах так:

( x , y ) = g ( x , y ) = xⁱ y ^k . (1)

где g _{I k} –коэффициенты билинейной формы g ( x , y ) в данном базисеe ₁ …,e_n . Они являются значениями этой формы на базисных векторах, то есть их скалярным произведением.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--