Курсовая работа: Многомерная геометрия 2

Нужно доказать, что (2)

причем равенство в (2) достигается только тогда, когда (то есть когда N совпадает с , рис.1)

Причем . Тогда и

(3)

поскольку вследствие ортогональности вектора подпространству

, содержащему .

Заметим, что ввиду положительной определенности метрической формы рассматриваемого пространства. Поэтому (2) следует из (3). Равенство в (2) достигается лишь тогда, когда ( то есть когда ).

3. Пусть

где - некоторая конечная независимая система векторов из L . В этом случае для нахождения ортогональной проекции заданного вектора x на подпространство достаточно надлежащим образом вычислить коэффициенты в разложении

(4)

С этой целью запишем условие ортогональности вектора к каждому из векторов z _j

(5)

Подставив разложение (4) в (5) и используя свойства скалярного произведения, получаем для систему линейных уравнений

(6)

Определить системы (6) представляет собой определитель Грамма для положительно определенной квадратичной формы ( x , x ) и независимых векторов . Поэтому он положителен, а система (6) однозначно разрешима. Тем самым искомая проекция найдется.

4. Ниже нам потребуется следующая

Лемма. Пусть в пространстве с положительно определенной метрической формой имеется система попарно ортогональных векторов , то есть ( a _i , a _k )= 0 при i = k . Если ни один из этих векторов не нулевой, то они линейно независимы.

Доказательство. Рассмотрим соотношение

(7)

Умножим (7) скалярно на a ₁ :

(8)

Так как а метрическая форма положительно определена, то Остальные скалярные произведения в левой части (8) обратятся в нуль по условию леммы; Аналогично устанавливается, что Лемма доказана.

5. Пусть в пространстве L дана упорядоченная система линейно независимых векторов Речь будет идти о замене этой системы другой системой векторов, ортогональной и в некотором смысле эквивалентной данной. С этой целью проводится геометрическое построение, называемое процессом ортогонализации. Оно напоминает процесс выбора базиса при приведении квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Новая система векторов Строится с соблюдением следующих условий:

1)

2) Векторы попарно ортогональны.

3) Система линейно независима.

В таком случае говорят, что система векторов получена из первоначальной системы процессом ортогонализации.