Курсовая работа: Многомерная геометрия 2

( e _I , e _k ) = g _{I k} . (2)

Причем g _{I k} = g _{k i} . Равенства (2) составляют таблицу умножения базисных векторов.

Если правые части таблицы (2) даны, то тем самым однозначно определено скалярное произведение любой пары векторов x , у согласно равенству (1).

6. Определение 1. Векторы x , у называются ортогональными , если

(x, у ) = 0.

В координатах условие ортогональности векторов x , у имеет вид

_{I k} xⁱ x^k = 0.

Определение 2. Вектор x ортогонален подпространству , если

( x , у) = 0 для любого у .

Заметим, что если имеет размерность k , то для ортогональности вектора x подпространству достаточно, чтобы x был ортогонален к каким – нибудь независимым векторам в числе k , лежащим в . В самом деле, если независимые вектора а_{1 ,…,} а _k лежат в и если ( x , a ₁ ) = 0 ,…,( x , a _k ) = 0, то для любого y L имеем y = a ₁ + …+ a _k , откуда

( x , y ) = ( x , a ₁ ) + …+ ( x , a _k ) = 0 .

Определение 3. Подпространства , называются ортогональными , если ( x , у) = 0 для любого x и любого у .

Определение 4. Подпространство называется ортогональным дополнением подпространства в пространстве L , если и ортогональны и их прямая сумма совпадает сL .

Замечание. Подчеркнем, что ортогональность векторов и ортогональность подпространств существенно зависит от того, какая именно билинейная форма g ( x , y ) взята в качестве скалярного произведения ( x , y ) в пространствеL .

1.2. Норма вектора

1. Пусть в линейном пространстве L задано скалярное произведение

Определение. Нормой вектора x называется число

= + (1)

Норма является обобщением понятия модуля или длины вектора, известного из элементарной геометрии.

Скалярное произведение ( x , x ) является действительным числом, но оно может не быть положительным, так что норма вектора может оказаться мнимой. Условимся считать, что радикал в формуле (1) может быть либо неотрицательным действительным числом, либо мнимым числом с положительным множителем при l ( l = + ) .

2. Из определения нормы следует, что

= .

для любого xL и любого числа a .

В частности,

=, = 0. (2)

Нулевые векторы, норма которых равна нулю, называются изотропными . Изотропные векторы существуют тогда и только тогда, когда квадратичная форма ( x , x ) не является знакоопределенной.

3. Квадратичная форма = ( x , x ) называется метрической формой рассматриваемого пространства.

Она определяется в билинейной форме ( x , y ) и в свою очередь определяет ее как свою полярную форму. Таким образом, задание скалярного произведения и задание квадратичной формы для измерения норм векторов равносильны. Поэтому пространства с заданным скалярным произведением называют также пространствами с квадратичной метрикой.

Если пространство n – мерно, то метрическая форма в координатах имеет вид