Курсовая работа: Многомерная геометрия 2

4. Теорема. Если метрическая форма является положительно отдельной, то для любых двух векторов x , y L соблюдается неравенство

+ . (3)

Доказательство. Используем неравенство Коши – Буняковского

(x , x )² ( x , x ) ∙( y , y ). (4)

Учитывая (4), находим, что

отсюда следует (3).

Замечание. Из (3) следует, что если метрическая форма положительно определена, то

.

5. Рассмотрим аффинное пространство F , к которому соответствует линейное пространствоL с квадратичной метрикой.

Для каждой пары точек A , B изF определим расстояние ( A , B ), пологая его равным норме вектора

(A, B) = (5)

Имеем

( A , B ) = ( B , A ), ( A , A )= 0. (6)

Формула (6) следует из (2) и (5).

6. В случае положительно определенной метрической формы ( x , x ) расстояние между точками равно нулю только тогда, когда точки совпадают, и, кроме того, для любых трех точек A , B , C из F соблюдается неравенствотреугольника

( A , C ) ( A , B ), ( B , C ). (7)

Неравенство (7) следует из неравенства (3) и формулы (5).

7. Если между точками аффинного пространства F определено расстояние по формуле (5), то говорят, что в аффинном пространстве F задана квадратичная метрика. В аффинных координатах квадрат расстояния имеет выражение

² (A, B) =_{i k} (x ⁱ ₂ – x ⁱ ₁ )(x ^k ₂ – x ^k ₁ ), (8)

где x ⁱ ₁ ,…x ⁿ ₁ – аффинные координаты точки A , x ⁱ ₂ ,…,x ⁿ ₂ – аффинные координаты точки B.

Правую часть (8), квадратичную относительно разностей координат произвольных точек A и B , называют метрической формой пространства F .

1.3.Ортонормированные базисы

1. В пространстве с квадратичной метрикой базисы не равноправны. Среди них есть такие, которые наиболее удобны с точки зрения данной метрики.

Именно, базис e ₁ ,…,e_n можно выбрать так, чтобы метрическая форма g ( x , x ) имела в нем нормальный вид

= g (x, x) = (x¹ )² + …+ (x ^k )² - (x ^{k +1} ) ² - … - (x ⁿ )² .

Тогда скалярное произведение двух векторов представится так:

x y = x ¹ y¹ + … + x ^k y ^k – x ^{k + 1} y ^{k + 1} - … - x ⁿ y ⁿ .

Ясно, что скалярное произведение ( e _I , e _j ) = 0 , если ij , то есть при ij ,