Курсовая работа: Многомерная геометрия 2

первый вектор сохраним

второй вектор проведем к нему ортогонально в плоскости, проходящей через e ₁ и e ₂ ;

третий вектор проведем ортогонально этой плоскости (рис 1).

Переходя к случаю большой размерности, нужно четвертый вектор располагать перпендикулярно данному трехмерному пространству и т. д. В общем случае положим:

(9)

Из формул (9) следует, что векторы расположены в нужных линейных оболочках и являются ненулевыми вследствие независимости векторов

Остается подобрать коэффициенты … так, чтобы векторы были попарно ортогональны. Тогда система будет независимой по лемме.

Найдем a . Мы имеем

отсюда

a = - (10)

деление выполнимо, так как Вектор (рис. 3).

Дальше обеспечим ортогональность третьего вектора первым двум:

Подчеркнутые члены обращаются в нуль, а по построению. Поэтому находим

(11)

Формулы (9) и (11) геометрически означают, что для построения вектора нужно из вектора вычесть его ортогональную проекцию на подпространство (рис. 4)

Дальше процесс идет аналогично.

Рис. 4
	Рис. 3

6. В процессе ортогонализации иногда бывает важно обеспечить соблюдение еще двух дополнительных условий.

4) При любом система ориентирована так же, как система

5)

Формулы (9) гарантируют соблюдение условия 4). В самом деле, из (9) имеем

Так, что в матрице, выражающей через , левый верхний минор порядкаj (при любом ) положителен (равен + 1).

Для того чтобы обеспечить условие 5), достаточно после проведения ортогонализации каждый из полученных векторов разделить на его норму.

Замечание. Нетрудно доказать (например по индукции), что условия 1) – 5) по данной системе однозначно определяют систему векторов .

7. Многочлены Лежандра. В математическом анализе и его приложениях приходится использовать разложение произвольных функций в ряды по данным функциям, рассматривая такие разложения функций аналогично разложениям векторов по данному базису. При этом удобно иметь аналоги ортогонального базиса; таковыми являются ортогональные системы функций. Одним из простейших примеров ортогональных систем являются многочлены Лежандра.

В пространстве непрерывных функций на отрезке вводится квадратичная метрика со скалярным произведением