Курсовая работа: Предел последовательности. Теорема Штольца
(арифметическая) или вида
(геометрическая прогрессия)
Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.
В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, эта варианта принимает последовательность значений:
Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к 
, со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательность значений:
и также представляет варианту.
Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через 
, отождествляя её с переменным («общим») членом этой последовательности.
Иногда варианта xп задаётся тем, что указывает непосредственно выражение для xп ; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, xп =а+(n-1) d или xп =aqn -1 . Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.
Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число π; вообще периметр рm правильного вписанного m-угольника даётся формулой
Предел последовательности
Определение 1: Числовая последовательность {хп } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т) , что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство 
, при этом число М (т) называют верхней (нижней) гранью .
Определение 2: Числовая последовательность {хп } называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, т, что для любого 
Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что числовая последовательность будет ограничена, если для любого 
выполняется равенство |xn |≤А, последнее неравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.
Определение 3: числовая последовательность 
называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A.
Определение 4: числовая последовательность {αn } называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного ε > 0, можно указать такой номер N(ε), что для любого n > N(ε) будет выполняться неравенство | αn | < ε.
Определение 5: числовая последовательность {хп } называется сходящейся , если существует такое число а, что последовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а – предел исходной числовой последовательности.
Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.
В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:
Определение 6: числовая последовательность {хп } называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого 
найдётся такой 
, что для всех n > N выполняется неравенство 
при 
,
а – предел последовательности