Курсовая работа: Предел последовательности. Теорема Штольца

так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона

.

Так как для n > 2, очевидно,, то окончательно,

При k = 1, получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)

так что

(а > 1).

Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k < 1.

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу

2. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):

Если варианта а_п имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта

(«среднее арифметическое» первых п значений варианты а_п ).

Действительно, полагая по теореме Штольца

имеем:

Например, если мы знаем, что , то и

3. Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца