Курсовая работа: Предел последовательности. Теорема Штольца

Определение 7: числовая последовательность {х_п } называется сходящейся , если существует такая точка а, что в любой достаточно малой ε – окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – предел последовательности {х_п }, то x_п – а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. x_п – а = α_n , где α_n – элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, x_п = а +α_n , и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {х_п } сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {х_п } можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности .

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1:

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Предположим, что последовательность {x_n } имеет два предела (а ≠ b)

x_n → a, следовательно x_n = a + α_n , где α_n элемент бесконечно малой последовательности;

x_n → b, следовательно x_n = b + β_n , где β_n элемент бесконечно малой последовательности;

Оценим разность данных равенств 0 = a – b + (α_n - β_{n )} ,

обозначим α_n - β_n = γ_n , γ_n – элемент бесконечно малой последовательности,

следовательно, γ_n = b – a,

а это означает, что все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу b – a, и тогда b – a = 0 по свойству бесконечно малой последовательности,

следовательно, b = a,

следовательно, последовательность не может иметь двух различных пределов.

Теорема 2:

Если все элементы последовательности {x_n } равны С (постоянной), то предел последовательности {x_n }, тоже равен С.

Доказательство:

Из определения предела, следует, С = С + 0.

Теорема 3:

Если последовательности {x_n } и {у_n } сходятся, то и последовательность {x_n + у_n } также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).

Доказательство:

x_n → a, следовательно x_n = a + α_n

у_n → b, следовательно у_n = b + β_n

x_n + у_n = а + b + (α_n + β_{n )}

обозначим α_n - β_n = γ_n , следовательно x_n + у_n = а + b + γ_{n ,} γ_n элемент бесконечно малой последовательности;

следовательно,