Курсовая работа: Решение обратной задачи динамики

получим

(2.8)

где

Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования :

(2.9)

где

Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем , изменив порядок суммирования

Введем следующие обозначения:

Тогда полином можно записать следующим образом

где - вектор-столбец начальных условий; - вектор-столбец полиномов .

Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису .

Имеем

, (2.10)

где - спектральная характеристика выходного сигнала , элементы которой определяются из соотношения

(2.11)

где - квадратная матрица размерностью , элементы которой определяются из выражения

Подставив полученные разложения (2.10) и (2.11) в левую часть уравнения (2.9) и учитывая, что , где - единичная, в силу ортонормированности базисных функций, получим

(2.12)

где - матрица спектральной характеристики инерционной части системы размерностью .