Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

Используя формулу правых прямоугольников, получим:

(2.10)

Эта схема неразрешима в явном виде относительно , поэтому проводится итерационная процедура:

, (2.11)

где s=1,2,… - номер итерации. Обычно схема сходится очень быстро – 2-3 итерации. Неявная схема первого порядка эффективнее явной, так как константа устойчивости С0 у неё значительно меньше.

– Метод Эйлера-Коши

Вычисления проводятся в два этапа : этап прогноза и этап коррекции.

На этапе прогноза определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера:

(2.12)

На этапе коррекции, используя формулу трапеций, уточняем значение решения на правом конце:

(2.13)

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то порядок погрешности апроксимации – равен двум.

– Неявная схема 2-го порядка (метод Эйлера-Коши)

Используя в (2.5) формулу трапеций, получим:

(2.14)

Схема не разрешена в явном виде, поэтому требуется итерационная процедура:

, (2.15)

где s=1,2,… – номер итерации. Обычно схема сходится за 3-4 итерации.

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то погрешность апроксимации – второй.

Схемы с дробным шагом

– Схема предиктор-корректор (Рунге-Кутта) 2-го порядка

Используя в (2.5) формулу средних, получим:

,(2.16)

где – решение системы на середине интервала [xk, xk+1] . Уравнение явно разрешено относительно , однако в правой части присутствует неизвестное значение . Поэтому сначала расчитывают (предиктор):

. (2.17)

Затем расчитывают (корректор) по формуле (2.16). Схема имеет первый порядок погрешности.

– Схема Рунге-Кутта 4-го порядка

Используя в (2.5) формулу Симпсона, получим:

(2.18)