Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

Поля под общим названием «начальные условия» содержат условия Коши – значения искомых функций в начале заданного интервала [a,b].

Для корректной работы программы все поля должны быть заполнены. При запуске программы все вышеперечисленные поля уже содержат стандартную информацию для теста программы, которую можно изменять.

Пользователю предоставляется возможность выбора режима программы. При запуске программы метка возле надписи «Не использовать метод сгущающихся сеток» отсутствует, и программа, используя метод учащающихся сеток подберёт после первого нажатия кнопки «выполнит» оптимальное значение количества шагов для достижения заданной точности. После повторного нажатия кнопки «выполнить» будут произведены вычисления уже для рекомендуемого значения шага сетки. Если метка поставлена, то после нажатия кнопки «выполнить» будет решена задача Коши для заданного интервала, но заданная точность не будет достигнута. Данный режим позволяет вводить различные системы дифференциальных уравнений, отличных от стандартных тестовых, решением которых являются функции u(x)=2*x, v(x)=exp(x).

2) Все результаты, полученные в ходе работы программы, отображаются в отдельном окне (рис. 2). При желании, всю информацию из этого окна можно сохранить в отдельный файл.

3) Полученное решение в виде графиков искомых функций выводится в отдельное поле (рис. 2). Здесь отображаются также графики функций f(x)=2*xи f(x)=exp(x), являющихся точным решением для тестовых систем дифференциальных уравнений. Поле отображения графиков масштабируемо.

4) Основное меню содержит следующие пункты: «Файл» и «О программе» (рис. 3). В свою очередь пункт меню «Файл» содержит следующие подпункты: «новый», «открыть», «сохранить как…» и «выход».

При выборе пункта «новый» все поля и окна будут очищены. Поле отображения графиков будет также очищено.

Выбрав пункт «сохранить как…», вся информация из окна результатов будет сохранена в выбранный пользователем файл (по умолчанию с расширением .txt).

Выбор пункта «открыть» приводит к загрузке из уже сохранённого ранее файла системы дифференциальных уравнений.

Программа работает стабильно, не приводит к ошибкам.

6. Анализ результатов

Результатом работы программы “Adams3.exe” является таблица значений полученного решения в узлах заданной сетки, значений точного решения и разность между точным и полученным решениями. Данную таблицу можно сохранить в текстовый файл с возможностью дальнейшего просмотра и редактирования.

В качестве тестовой задачи была решена задача Коши при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка на интервале [2,4] с начальными условиями :

.

Точным решением данной системы являются функции:

Требовалось добиться решения системы дифференциальных уравнений с точностью до 0.0001.

Результат решения (выходной файл):

Входные данные:

du/dx= u/x+v-e^x;

dv/dx= 2*x/u+v^2/e^x-1;

Интервал: [2;4]

Допустимая погрешность: е=0,0001

Начальные условия:

u=4

v=7,389056098930650230

Количество шагов сетки: 320

Шаг вывода: 32

Результаты:

x | u(x) | точное | разн. | v(x) | точное | разн. |