Курсовая работа: Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а , значить, і системи рівносильні. Тому при , а .

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай точка , в якій досягається максимальна похибка наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює

.

Із цієї рівності випливає, що

.

У правій частині маємо відносну похибку наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (40) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції ермітовим сплайном з ланкою виглядузводиться до наближення функції ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду

(45)

Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду

(46)

Нехай — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (45), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

(47)

. (48)

Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння

, (49)

а до системи (43) рівняння

(50)

Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді

.

Про логарифмуємо і отримаємо

,

де із умови теореми 2 , а .Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай при . Тоді

(51)

Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції на ермітовим сплайном з ланкою може бути знайдено через наближення функції на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення

Із рівності похибок і формули (37) матимемо