Курсовая работа: Розрахунок типових задач з математичної статистики

F (x_i ) =P (X<x_i ).

Біноміальним називають закон розподілення дискретної випадкової величини Х - кількості появ результатів у n незалежних випробуваннях, в кожному з яких імовірність появи результату дорівнює p; імовірність можливого значення Х=k (числа k появ результату) обчислюють за формулою Бернуллі:

.

Якщо кількість випробувань значна, а імовірність р появи результату в кожному випробуванні дуже мала, то використовують наближену формулу

,

де k - кількість появи результату в n незалежних випробуваннях, np (середнє число появ результату в n випробуваннях), і кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона.

1.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин

Характеристикою середнього значення даної випадкової величини є математичне очікування.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх імовірності:

M [X] = x₁ p₁ + x₂ p₂ + … + x_n p_n

Якщо дискретна випадкова величина приймає лічену множину значень, то

,

математичне очікування існує, якщо ряд в правій частині рівності сходиться абсолютно. Математичне очікування має наступні властивості: математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:

M [C] = C

Постійних множник можна виносити за знак математичного очікування:

M [CX] = CM [X]

Математичне очікування взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань множників:

M [X₁ X₂ …X_n ] = M [X₁ ] *M [X₂ ] *…*M [X_n ]

Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

M [X₁ +X₂ +…+X_n ] = M [X₁ ] + M [X₂ ] + … +M [X_n ]

Характеристиками розсіювання випадкової величини навколо математичного очікування служать дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсією випадкової величини Х називають математичне очікування квадрату відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

D [X] = M [X - M [X]] ² =M [X² ] - (M [X]) ²

Дисперсія володіє наступними властивостями:

Дисперсія постійної дорівнює 0.

Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, початково піднісши його до квадрату:

D [CX] = C² D [X]

Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює

сумі дисперсій доданків:

D [X₁ + X₂ + … + X_n ] = D [X₁ ] + D [X₂ ] + … + D [X_n ]