Курсовая работа: Сравнительный анализ численных методов

Его отличие от предыдущего метода состоит в том , что на n-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y =F(x) при х=cn-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х.

Рисунок 2. Метод касательных

Уравнение касательной, проведенной к кривой y =F(x) в некоторой точке с координатами х0 и F(х 0) имеет вид

y-F(х0)=F’(х0)(x-х0).

Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):

х=х0 - F(х0) /F’(х0).

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных . Формула для n-го приближения имеет вид

хn=хn-1 - F(хn-1) /F’(хn-1), n=1,2,…

При этом необходимо , чтобы выполнялось условие F’(хn-1)0.

Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.

1.3 Практическое применение метода хорд для решения уравнений

Возьмем для исследования функцию и определим точность решения как=0,001.

Рисунок 3. График функции (в разных пределах)

Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а=-0,1, b=0.35).

Прежде чем начать итерационный процесс, необходимо проверить функцию на данном отрезке на ряд условий:

Проверяем существование корня на отрезке по условию

f(-0.1)=-1.571

f(0.35)=1.51037

-2,37280.4954<0

Условие выполнено, следовательно на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность на отрезке :