Курсовая работа: Сравнительный анализ численных методов

x2= b21x2+0 +b23x3+…+ b2m-1xm-1+ b2mxm+c2

xm= bm1x1+ bm2x20 +bm3x3+…+ bmm-1xm-1+ 0+cm

в которой, на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, стальные элементы выражаются по формулам:

bij=-aij/aii ci=bi/aii (i,j=1,2,3…m, i<>j)

Итерационный процесс продолжается до тех пор , пока значения х1(k) , х2(k) , х3(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1(k-1) , х2(k-1) , х3(k-1) .

Для возможности выполнения данного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.

Часто систему преобразуют к виду x=x-(Ax-b), где -специально выбираемый числовой параметр.

Описание метода:

Выберем начальное приближение x0=( x01 x02… x0m)

подставляя его в праву часть системы

x=Bx+c,

и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение:

x1=Bx0+c

на втором шаге подставляем приближение x1 в правую часть той же системы, получим второе приближение:

x2=Bx1+c

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x1 x2 x3… xn приближений, вычисляемых по формуле :

Эта формула и выражает собой метод простой итерации.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х(k-1).

Теорема. Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы, т.е. либо .Эти выражения являются условиями сходимости метода итераций

3.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя можно использовать как модификацию метода простых итераций. Основная идея модификации состоит в том, что при вычислении очередного (k+1)-го приближения к известному xi при i>1 используют используются уже найденные приближения к известным x1,… xi-1, а не k-е приближение как в методе простых итераций.

На (k+1)-й итерации компоненты приближения вычисляются по формулам:

Условие сходимости метода Зейделя заключается в том, что матрица A системы Ax=b, должна удовлетворять условию:

модуль диагонального элемента должен быть больше суммы модулей оставшихся элементов строки или столбца.

Если данное условие выполнено, необходимо проследить, чтобы система была приведена к виду, удовлетворяющему решению методом простой итерации и выполнялось необходимое условие сходимости метода итераций: