Курсовая работа: Свойства многоугольников и их применение в решении задач

6. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7. Длина любой стороны треугольника меньше суммы и больше модуля разности длин двух других сторон:

|AC-CB|<AB<AC+CB (2.1)

8. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

9. Два не совпадающих ни с одной из сторон треугольника отрезка, поведённых из двух разных вершин треугольника до противолежащих этим вершинам сторон, пересекаются.

10. Прямая, проходящая через вершину треугольника и пересекающая противолежащую вершине сторону, делит данный треугольник на два треугольника, площади которых соответственно пропорциональны отрезкам, отсекаемым прямой на стороне данного треугольника.

11. Множеством вершин треугольников с одними и теми же основанием ВС и высотой h является множество точек двух прямых, параллельных прямой ВС и проходящих на расстоянии h от нее.

12. Если а, b , с - положительные числа, то треугольник со сторонами а, b , с существует в том и только в том случае, если одновременно выполняются неравенства:

а + b >с, b +с>а, а + с> b (2.2)

Эта система неравенств равносильна двойному неравенству

| a - b |<2 c < a + b (2.3).

13.Площадь треугольника равна половине произведения его основаниям на высоту

14.Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

15.Любой треугольник можно вписать в окружность.

16.Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

17.Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. Каждая сторона треугольника касается одной и только одной из этих окружностей.

2.2. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАК И СВОЙСТВА

Пример равнобедренного треугольника

Рис. 2.1.

Признак равнобедренного треугольника:

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника:

Для равнобедренного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

3) В равнобедренном треугольнике медианы (а также высоты или биссектрисы), проведенные к боковым сторонам, равны.

2.3. СВОЙСТВА РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример равностороннего треугольника

Рис. 2.2.

Свойства равностороннего треугольника:

1) У равностороннего треугольника все углы равны между собой и составляют 60°.

2) В равностороннем треугольнике любая биссектриса является одновременно медианой и высотой.

3) В равностороннем треугольнике все медианы (а также высоты или биссектрисы) равны между собой.

4) Точка пересечения медиан (высот, биссектрис) равностороннего треугольника, называемая его центром, является центром вписанной и описанной окружностей.

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример прямоугольного треугольника