Курсовая работа: Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Признаки прямоугольного треугольника:

1) Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник прямоугольный.

2) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Свойства прямоугольного треугольника:

Для прямоугольного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1) У прямоугольного треугольника только один прямой угол, два других его угла острые.

2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета.

4) В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

5) Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

6) Гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника совпадает с диаметром этой окружности.

7) Высота прямоугольного прямоугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник на два треугольника, подобных исходному.

8) Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике лежит между медианой и высотой и делит угол между ними пополам.

9) Площадь равна половине произведения его катетов.

3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁ B₁ C₁ D₁ ).

Свойства четырехугольника:

1. Четырехугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.

2. В любом четырехугольнике какие-то две противолежащие вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

3. Прямые, содержащие диагонали любого четырехугольника, пересекаются.

4. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон:

(3.1)

5. Площадь произвольного выпуклого четырехугольника:

d₁ , d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d ₁ d ₂ sin (3.2)

6 Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, ког­да сумма противоположных углов этого четырехуголь­ника равна, 180°.

7 В четырехугольнике, впи­санном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон(Теорема Птолемея).

8 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сум­мы его противоположных сторон равны.

3.1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ