Курсовая работа: Свойства многоугольников и их применение в решении задач
Пусть сначала n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m- угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m - 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 1+2(m - 1)=2m-1=n-1 отмеченных точек.
Пусть теперь n = 2m + 1 . Диагонали и стороны правильного (2m + 1)- угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m концентрических окружностях (по n точек на каждой). Окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 2m = n - 1 отмеченных точек.
В обоих случаях наибольшее число отмеченных точек, лежащих на одной окружности, равно n.
Задача8 Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB , CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF . Докажите, что они имеют общий центр.
РЕШЕНИЕ:
Пусть XYZ — данный треугольник, KLM — треугольник, получаемый при продолжении сторон AB , CD и EF шестиугольника ABCDEF (рис.). Пусть O — центр треугольника XYZ , докажем, что он является центром треугольника KLM .
При повороте относительно точки O на 1200 против часовой стрелки прямая AB переходит в прямую, параллельную CD . Поскольку при этом повороте точка X прямой AB переходит в точку Y , то образ прямой AB должен проходить через точку Y, значит совпадать с CD . Поэтому точка O равноудалена от прямых AB и CD . Аналогично доказывается, что она равноудалена от прямых CD и EF . Значит, она является центром окружности, вписанной в треугольник KLM и, тем самым, центром шестиугольника ABCDEF .
Задача9 Окружности, диаметрами которых служат стороны АВ и С D выпуклого четырехугольника ABCD , касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что ВС || AD .
РЕШЕНИЕ:
Пусть М и N – середины сторон АВ и CD . Опустим из точки D перпендикуляр DP на прямую MN , а из точки М перпендикуляр MQ на СВ . Тогда Q – точка касания прямой CD и окружности с диаметром AB . Прямоугольные треугольники PDN и QMN подобны, поэтому DP = ND * MQ / MN = ND * MA / MN . Аналогично расстояние от точки А до прямой MN равно ND * MA / MN . Следовательно, AD ||MN . Аналогично BC || MN .
Задача10 Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что AK + AN = AB . Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника ( 
KAN +
KBN + KCN + KDN + KEN + KFN).
РЕШЕНИЕ: Будем считать, что N лежит на AB, а K лежит на AF (рис.4.11). Заметим, что FK = AN. Выберем точку P на BC , точку R на CD , точку S на DE и точку T на EF
так, чтобы выполнялись равенства FK = AN = BP = =CR = DS = ET. Тогда KBN = TAK, KCN =
=SAT, KDN = RAS, KEN = PAR, KFN =
=NAP, откуда
KAN+ KBN+
