Курсовая работа: Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів

Де - гамма-функція; зокрема

Звідси видно, що розподіл "хи квадрат" визначається одним параметром - числом ступенів волі k . Зі збільшенням числа ступенів волі розподіл повільний наближається до нормального.

1.3 Розподіл Стьюдента

Нехай Z- нормальна випадкова величина, причому M(Z)=0, cy(Z) - 1, а V- незалежна від Zвеличина, що розподілена за законом /2 з kступенями волі.

Тоді величина

має розподіл, що називають t -розподілом, чи розподілом Стьюдента (псевдонім англійського статистика В. Госсета) з k ступенями волі.

Отже, відношення нормованої нормальної величини до квадратного кореня з незалежної випадкової величини, розподіленої за законом "хи квадрат" з k ступенями волі, діленої на k , розподілено за законом Стьюдента з k ступенями волі.

Зі зростанням числа ступенів волі розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального. Додаткові зведення про цей розподіл приведені далі

1.4 Розподіл F Фішера-Снедекора

Якщо Uі Vнезалежні випадкові величини, розподілені за законом х2 зі ступенями волі і , те величина

має розподіл, що називають розподілом F Фішера-Снедекора зі ступенями волі і (іноді його позначають через V²). Диференціальна функція

Ми бачимо, що розподіл Fвизначається двома параметрами - числами ступенів волі.

2 . Емпірична функція розподілу

Нехай відомо статистичний розподіл частот кількісної ознаки X. Введемо значення п _х — число спостережень, менше х; п — загальне число спостережень (об’єм вибірки). Ясно, що відносна частота події X <1 дорівнює n(x)/п. Якщо х змінюється, то, взагалі говорячи, змінюється і відносна частота, тобто відносна частота п_х /п є функція від х. Тому що ця функція знаходиться емпіричним (досвідченим) шляхом, то її називають емпіричною.

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію F*(x), що визначає для кожного значення х відносну частоту випадку X < х. '

Отже, по визначенню:

F(x)=nx/n

Де nx-число варіант, менших х; п — об'єм вибірки. Таким чином, для того щоб знайти, наприклад, F*(xi), потрібно число варіант, менших х_г , розділити на об’єм вибірки:F*(x2) = nx2/n.

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функцію розподілу F (х) генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Різниця між емпіричної і теоретичної функціями полягає в тому, що теоретична функція F (х) визначає імовірність події X < х, а емпірична функція F* (х) визначає відносну частоту події. З теореми Бернуллі випливає, що відносна частота події X < х, тобто F* (х) прагне по імовірності до імовірності F (х) цієї події. Іншими словами, при великих п числа F* (х) і F (х) мало відрізняються одне від іншого в тому змісті, що lim n-¥Р [ | F (х)- F* (х) | < е] = 1 (е > 0). Уже звідси випливає доцільність використання емпіричної функції розподілу вибірки для наближеного представлення теоретичної (інтегральної) функції розподілу генеральної сукупності.

Такий висновок підтверджується і тим, що F*(x) наділене усіма властивостями F (х). Дійсно, з визначення функції F* (х) випливають наступні її властивості: 1) значення емпіричної функції належать відрізку [О, 1];

2) F*(x) — функція, що не спадає;

3) якщо Xi — найменша варіанта, то F*(x) = Q при xx₁ ; якщо x_k —найбільша варіанта, то F* (х) = 1 при x> x_k .

Отже, емпірична функція розподілу вибірки служить для оцінки теоретичної функції розподілу генеральної сукупності.

Приклад.

Побудувати емпіричну функцію по даному розподілу вибірки: