Курсовая работа: Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів
звідси одержимо, що при п - P(/
-
/<
)
1.
Уведемо поняття ефективності й асимптотичної ефективності незміщеної оцінки скалярного параметра .
Ефективністю е() незміщеної оцінки
параметра
називають відношення min DQn(
є s)— мінімально можливого значення дисперсії оцінки в класі S всіх незміщених оцінок параметра
до дисперсії D
n розглянутої оцінки. При виконанні функцією щільності fх (х, 0) [функцією імовірності Р(Х =х,
)] досить загальних умов регулярності: дифференційованих по
, незалежності області визначення від
і т. д. — має місце нерівність Рао—Крамера—Фреше:
(3.8)
де i() — кількість інформації про параметр
, що міститься в одиничному спостереженні, визначається співвідношенням
(3.9)
(i() — деяка постійна, що залежить від
). Тому
(3.10)
якщо е() = 1, то
— ефективна оцінка параметра
у класі S усіх
його незміщенних оцінок.
Асимптотичної ефективністю оцінки називають розмір
(3.11)
якщо (
) = 1 то
— асимптотична ефективна оцінка (очевидно, що ефективна оцінка буде й асимптотично ефективною). Знайдемо вираження для асимптотичної ефективності оцінки
. Тому що при великих п оцінку
можна вважати незміщеною, то з урахуванням формул (3.11,3.10,3.7) одержимо
Приклад 3.1.3 Переконаємося в тому, що знайдена методом моментів по випадковій вибірці з генеральної сукупності X ~ N (а, а) оцінка X параметра а є ефективної в класі не зміщених оцінок, а оцінка 2 параметра
2 є, після виключення зміщення, асимптотично ефективною.
Оцінка X - незміщена, і DX = 2 /п. Припустивши, що
2 відома, і використовуючи формулу (3.10), у якій, з обліком нормальності розподілу,
1(а) = М(dln f(x,a)/da)
= 1/
2 одержимо, що е(
) = 1. Звідси X - ефективна оцінка.
Оцінка - зміщена; виключивши зміщення, одержимо оцінку
дисперсія котрої Ds =2
/n-1 .
Припустивши, що а відомо, і використовуючи вираження (3.10), у котрому, с обліком нормальності розподілу,
одержимо, що ефективність е(s2) =(n – 1/n)<1, а асимптотична эффективність e0(s2) = lime(s2) = 1. Отже, s2 – асимптотична эффективна оцінка.
Зауваження.
Незміщеною і ефективною оцінкою дисперсії є використовувана при відомому значенні параметра а оцінка s =
(Xі -a)
/ п, тому що Мs
=
2 , Ds
= 2
/n и е(s
) = 1.
При виконанні досить загальних умов усі три оцінки: 2 ,s2 і s
забеспечені.
У приведеному прикладі оцінки методу моментів X і 2 є відповідно ефективної й асимптотично ефективної. Однак подібні приклади швидке виключення: набагато частіше оцінки методу моментів із погляду ефективності не є найкращими з можливих навіть при великих п. Р. Фишер показав, що асимптотична ефективність цих оцінок часто значно менше одиниці. Асимптотично ефективні оцінки можуть бути отримані методом максимальної правдоподібності.