Курсовая работа: Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів
(v1 =a)∩(v2 =а2 + σ 2 )- такий вид системи (3.2) у даному прикладі. Вирішивши її щодо а й σ 2 , одержимо: а = v1 σ 2 = v2 - v1 2 . Звідси оцінки методу моментів:
це оцінка математичного чекання а;
це оцінка дисперсії σ 2 .
Відзначена раніше деяка невизначеність вибору початкових моментів може привести до одержання різних оцінок того самого параметра.
Приклад 3.1.2 Випадковий розмір X має розподіл Пуассона:
Знайдемо оцінку параметра X для двох
варіантів:
а) у якості початкового моменту візьмемо v1, одержимо:
б) у якості початкового моменту візьмемо v2; одержимо:
Оцінки - різні. Звичайно, краще перша: А, = х як більш проста і відповідному змісту параметра пуассонівського розподілу:
l = MX, тому за А, природно прийняти х - гарну точечну оцінку математичного чекання.
Однак не всі одержувані методом моментів оцінки мають властивості «гарної оцінки». Так, отримана в прикладі 3.1.1 оцінка
дисперсії σ 2 не має властивість незміщеності а є асимптотично незміщеною оцінкою: lim
мd
= limn-1/n*
=, тобто при великих п можна вважати, що не зміщена щодо .
Приведемо без доказу теорему про функції від моментів, із якої випливають визначені властивості оцінок методу моментів.
Припустимо, що є функцією двох вибіркових моментів vk і vm: 
=h(v
,vm), що не містить явно п. Позначимо 
= h(v,vm), де vk =Mvk, a vm = M/vm (останні дві рівності вірні в силу властивості незміщенності вибіркових початкових моментів),
Теорема стверджує: якщо в деякій околиці точки (v,vm), функція h безперервна зі своїми першими і другими похідними, то при великих п розподіл випадкового розміру =h(v,vm) близько до нормального (n має асимптотично нормальний розподіл) із математичним чеканням, рівним В, і дисперсією, рівної
(3.5)
де С2 () — деяка постійна, що залежить від . (Теорему можна поширити на будь-яку кількість моментів — аргументів функції h)
З теореми випливає, що при виконанні досить загальних умов оцінка методу моментів 
), при великих п задовольняє наступним співвідношенням:
(3.6)
тобто оцінка методу моментів є асимптотично незміщенною,
(3.7)