Курсовая работа: Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів

частоти n_i 12 18 30

Розв’язок. Знайдемо обсяг вибірки: 12 + 18 + 30 = 60. Найменша варіанта дорівнює 2, отже,

F*(x) = О при x2. І

Значення X < 6, а саме x₁ = 2, спостерігалося 12 разів, отже,

:F*(x) = 12/60 = 0,2 при

2<x6. I

значення x<10, а саме x₁ = 2 і х₂ = 6, спостерігалися 12 + 18 = 30 разів, отже,

F* (х) = 30/60 = 0,5 при 6 < х 10. Тому що x=10 — найбільша варіанта, то | F*(x)=1 при х > 10. Шукана емпірична функція

Графік цієї функції зображений на малюнку.

3 . Точечні та інтервальні оцінки параметрів розподілу

3.1 Точечна оцінка параметрів розподілу

Є два підходи до оцінювання невідомих параметрів розподілів по спостереженнях: точечний і інтервальний. Точечний вказує лише точку, біля якої знаходиться оцінюваний параметр; при інтервальному знаходять інтервал, що з деякою великою ймовірністю, що задається дослідником, накриває невідоме числове значення параметра. У главі розглядаються методи точечного оцінювання параметрів; будуються інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу, обговорюється загальний підхід до інтервального оцінювання параметрів розподілу, відмінних від нормального.

3.1.1 Метод моментів

Метод моментів є одним із методів точечного оцінювання параметрів розподілу.

Нехай закон розподілу випадкової величини X відомий із точністю до числових значень його параметрів ₁ ,_2,…,k . Це означає, що відомий вид функції щільності f_x (х, ), де = (₁ ,_2,…,k ), якщо X безперервна (відомий вид функції ймовірності Р (X = х, ), якщо X дискретна), але числові значення k параметрів не відомі. Знайдемо оцінку = (₁ ,_{2,…, k} ) параметра 0, розташовуючи вибіркою: х₁ , х₂ ..., х_п.

Допустимо, що існує k початкових моментів, кожний із який можна висловити через (без обмеження спільності можна розглядати тільки початкові моменти, тому що центральні моменти є функціями початкових). Нехай такими моментами будуть перший, другий,..., k-й: v₁ ,v_2, …,v_k (що зовсім не обов'язково). Висловимо кожний із них через :

(3.1)

Помітимо, що в системі

(3.2)

число рівнянь повинно бути рівним числу k оцінюваних параметрів. Знайдемо рішення системи (3.2). Висловивши кожний параметр q через v₁ ,v_2, …,v_k , одержимо:

(3.3)

Властивість змістовності вибіркових початкових моментів є підставою для заміни в рівняннях (3.3) теоретичних моментів v₁ ,v_2, …,v_k на обчислені при великому п вибіркові моменти v₁ ,v_2, …,v_k .

Оцінками методу моментів параметрів ₁ ,_2,…,k називаються оцінки

(3.4)

Питання про те, які початкові моменти включати в систему (3.2), варто вирішувати, керуючись конкретними цілями дослідження і порівняльної простоти форм залежностей моментів від параметрів. У статистичній практиці справа рідко доходить навіть до четвертих моментів.

Приклад 3.1.1 Випадковий розмір Х~ N (а, σ ), при цьому числові значення параметрів а і σ ² не відомі. Знайдемо оцінки методу моментів для цих параметрів.

Використовуючи формулу (3.1), висловимо моменти v₁ і v₂ через а й σ ² :