Прежде чем доказывать теорему, сделаю два пояснения.

1. Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв. Например, 1/xтеряет смысл при x=0; выражение 1/(x² -25) теряет смысл при x=5 и при x=-5.

Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение.

2. Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю. Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование.

Рассмотрю произведение (1-x) * . При x=1 первый множитель обращается в нуль, а второй теряет смысл. Нельзя утверждать, что это произведение при x=1 равно нулю.

Lim [(1-x) * ] = Lim=1/2.

x→1 x→1

Итак, при x=1 само произведение (1-x) * смысла не имеет. Но его предел имеет смысл, а именно равен ½, а не нулю, как это ошибочно можно было предположить.

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

f(a)=R,

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

При x=-b/a:

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число aявляется корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию aявляется корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.