Научная работа: Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2
Разложить на множители многочлен f(x)=x4 +4x2 –5.
Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x–1) без остатка:
f(x)/(x–1)=x3 +x2 +5x+5, значит f(x)=(x–1)(x3 +x2 +5x+5).
Среди делителей свободного члена многочлена x3 +x2 +5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x3 +x2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка:
_x4 +4x2 –5 x–1 _x3 +x2 +5x+5 x+1
x4 –x3 x3 +x2 +5x+5 x3 +x2 x2 +5
_x3 +4x2 _5x+5
x3 –x2 5x+5
_5x2 –5 0
5x2 –5x
_5x–5
5x–5
0
(x3 +x2 +5x+5)/(x+1)=x2 +5, значит x3 +x2 +5x+5=(x+1)(x2 +5).
Отсюда f(x)=(x–1)(x+1)(x2 +5).
По следствию 7 (x2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.
Ответ: x4 +4x2 –5=(x–1)(x+1)(x2 +5).
Пример 6
Разложить на множители многочлен f(x)=x4 +324.
f(x) корней не имеет, т.к. x4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.
Ответ: многочлен на множители не раскладывается.
Пример 7
Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.
По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x–4)2 (x+2), значит:
f(x)/(x–4)2 (x+2)=q(x), т.е.
f(x)=(x–4)2 (x+2)q(x),
f(x)=(x2 –8x+16)(x+2)q(x),
f(x)=(x3 –8x2 +16x+2x2 –16x+32)q(x),
f(x)=(x3 –6x2 +32)q(x).
(x3 –6x2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) – также кубический многочлен, следовательно, Q(x) – некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x3 –6x2 +32.
Ответ: x3 –6x2 +32.
Пример 8