Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

(x–a):

f(x)=(x–a)q(x),

тогда бы он делился на (x–a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

Применение теоремы

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

· найти все целые делители свободного члена;

· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

· левую часть уравнения разделить на (x-a);

· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

· решить полученное уравнение.

Пример 1

Найти остаток от деления многочлена x³ –3x² +6x–5

на двучлен x–2.

По теореме Безу:

R=f(2)=2³ –3*2² +6*2–5=3.

Ответ: R=3.

Пример 2

При каком значении a многочлен x⁴ +ax³ +3x² –4x–4 делится без остатка на двучлен x–2?

По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12–8– 4=8a+16.

Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.

Ответ: a=-2.

Пример 3

При каких значениях a и b многочлен ax³ +bx² –73x+102 делится на трёхчлен x² –5x+6 без остатка?

Разложим делитель на множители: x² –5x+6=(x–2)(x–3).