Научная работа: Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a₁ , a₂ ,… ,a_n ,то он делится на произведение (x-a₁ )…(x-a_n ) без остатка.

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на

(x-a₁ )(x-a₂ )…(x-a_k ), гдеa₁ , a₂ ,…, a_k - егокорни.

Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a₁ , a₂ , a_k ,…, (a_{k +1} ) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a₁ )…(x-a_k ), откуда выходит, что

f(x)=(x-a₁ )…(x-a_k )q(x).

При этом (a_{k +1} ) – корень многочлена f(x), т.е.

f(a_{k +1} ) = 0.

Значит, подставляя вместо x (a_{k +1} ), получаем верное равенство:

f(a_k+1 )=(a_k+1 -a₁ )…(a_k+1 -a_k )q(a_k+1 )=0.

Но (a_{k +1} ) отлично от чисел a₁ ,…, a_k , и потому ни одно из чисел (a_{k +1} -a₁ ),…, (a_{k +1} -a_k ) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a_{k +1} ), т.е. (a_{k +1} ) – корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a_{k + 1} ) без остатка.

q(x)=(x-a_{k +1} )q₁ (x), и потому

f(x)=(x-a₁ )…(x-a_k )q(x)=(x-a₁ )…(x-a_k )(x-a_k+1 )q₁ (x).

Это и означает, что f(x) делится на (x-a₁ )…(x-a_{k +1} ) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a₁ , a₂ ,..., a_n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a₁ )...(x-a_n+k ), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

R=f(a), т.е.

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

Отсюда

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.