Реферат: 1. Объем и содержание понятия. Определение понятия
Приведем примеры умозаключений (рассуждений).
1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:
3+ 2 < 3 • 2 (А!)
4+ 3 < 4 • 3 (А2 )
7 + 5 < 7 • 5 (Аз).
На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.
2) Если число х при счете называют раньше числа у то х меньше у (А). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А2 ). Следовательно 7 < 8 (В).
В умозаключении различают посылки — высказывания представляющие исходное знанием и заключение — высказыванием к которому приходят в результате умозаключения.
В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключением но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение — потом посылки; заключение может находиться между посылками.
Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь различают правильные (дедуктивные) и неправильные (недедуктивные) умозаключения.
Дедуктивным умозаключением называется умозаключением в котором между посылками и заключением имеется отношение логического следования.
В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение.
Правильно строить дедуктивные умозаключениям анализировать их помогают правила логики:
Ошибки в рассуждениях неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и Формулы приводят к ложному заключению. Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать помогает усваивать многие математические факты.
Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Приором таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.
Неполная индукция — это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством делается вывод что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.
Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными так и ложными.
Рассмотрим пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5 делится на 5. В данном случае заключение истинно — нам известен признак делимости на 5.
Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать. Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать обобщать делать выводы.
Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.
Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки способствует развитию математической интуиции.
4. Понятия множества. Способы задания множеств.
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА
В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: цифры: 0,1,2,3,4.5,6,7,8,9. натуральные числа: 1, 2, 3, 4,... треугольники и т.д.
Все эти различные совокупности называют множествами . Множество — одно из основ- ных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце 19 века как обобщение понятий: класс группа, набор и т.п.
В быту множеством называют большое количество элементов. В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объектами не содержащие ни одного объекта. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита: А.В.С Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0 Например, пустым является множество решений уравнения 5 : х = 0.
Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел,