Реферат: Аксиоматика векторного пространства

Или:

и

Доказательство:

Допустим, что и и , т.е. существует , имеющий два различных противоположных вектора и .

и (1)

(2)

Тогда

и (3)

Левые части равенств (3) равны между собой. Действительно:

(4)

Из равенства (3) и (4) следует, что .

Теорема 2.3. Для любых векторов и существует единственный вектор , такой, что .

Доказательство:

I. Существование. Убедимся, что в качестве вектора можно будет выбрать вектор . В самом деле,

Таким образом, для векторов и существует вектор , удовлетворяющий равенству:

.

II. Единственность (от противного). Пусть

и (1)

Тогда:

Отсюда . Получим противоречие с допущением. Таким образом, единственность вектора доказана.

Определение 2.1. Вектор, удовлетворяющий равенству , называется разностью векторов и , и обозначается через - .

Таким образом

Теорема 2.3., как видно, вводит на множестве v новую операцию "–":

называемую вычитанием, которая является обратной по отношению к операции сложения.

Следствие 1.